已知数列的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求

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2024-06-30

题目内容:

已知数列的前n项和为Sn,并且满足a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).

(1)求{an}的通项公式;

(2)令Tn=Sn,是否存在正整数m,对一切正整数n,总有Tn≤Tm?若存在,求m的值;若不存在,说明理由.

最佳答案:

(1)an=2n.(2)m=8或m=9

答案解析:

(1)令n=1,由a1=2及nan1=Sn+n(n+1),①得a2=4,故a2-a1=2,

当n≥2时,有(n-1)an=Sn1+n(n-1),②

①-②,得nan1-(n-1)an=an+2n.整理得an1-an=2(n≥2).

当n=1时,a2-a1=2,所以数列{an}是以2为首项,以2为公差的等差数列,

故an=2+(n-1)×2=2n.

(2)由(1)得Sn=n(n+1),所以Tn=(n2+n).

故Tn1=[(n+1)2+(n+1)],令

即即

解得8≤n≤9.故T1<T2<…<T8=T9>T10>T11>…

故存在正整数m对一切正整数n,总有Tn≤Tm

此时m=8或m=9

考点核心:

等差数列的定义:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为an+1-an=d。

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