已知数列的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．(1)求

题目内容：

已知数列的前n项和为S_n，并且满足a₁＝2，na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)．

(1)求{a_n}的通项公式；

(2)令T_n＝S_n，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有T_n≤T_m？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

最佳答案：

（1）a_n＝2n.（2）m＝8或m＝9

答案解析：

(1)令n＝1，由a₁＝2及na_n＋1＝S_n＋n(n＋1)，①得a₂＝4，故a₂－a₁＝2，

当n≥2时，有(n－1)a_n＝S_n－1＋n(n－1)，②

①－②，得na_n＋1－(n－1)a_n＝a_n＋2n.整理得a_n＋1－a_n＝2(n≥2)．

当n＝1时，a₂－a₁＝2，所以数列{a_n}是以2为首项，以2为公差的等差数列，

故a_n＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)由(1)得S_n＝n(n＋1)，所以T_n＝(n²＋n)．

故T_n＋1＝[(n＋1)²＋(n＋1)]，令

即即

解得8≤n≤9.故T₁<T₂<…<T₈＝T₉>T₁₀>T₁₁>…

故存在正整数m对一切正整数n，总有T_n≤T_m，

此时m＝8或m＝9

考点核心：

等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a_n+1-a_n=d。