第四单元 【三位数乘两位数】
1、三位数乘两位数的笔算方法：
先用两位数个位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，积的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积加起来。
2、积的变化规律：
一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）几。
1、 每件商品的价钱，叫做单价；买了多少，叫做数量；一共用的价钱，叫做总价。
单价 × 数量 =总价 单价＝总价 ÷数量 数量=总价÷单价
2、 一共行了多长的路，叫做路程；每小时（或每分钟等）行的路程，叫做( 速度 )；
行了几小时（或几分钟等），叫做时间。
速度 × 时间 = 路程
速度 ＝路程 ÷ 时间
时间 ＝路程 ÷ 速度
3、速度单位通常有：千米/时、米/分、米/秒等。
代数式中的一种有理式：不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。（分母中含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式）
1、单项式：数或字母的积（如5n），单个的数或字母也是单项式。
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。（如果一个单项式，只含有数字因数，系数是它本身，次数是0）。
（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数（非零常数的次数为0）。
2、多项式
（1）概念：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。一个多项式有几项就叫做几项式。
（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
在做多项式的排列的题时注意：
（1）由于单项式的项包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符
看作是这一项的一部分，一起移动。
（2）有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：
a、先确认按照哪个字母的指数来排列。
b、确定按这个字母降幂排列，还是升幂排列。
3、整式：单项式和多项式统称为整式。
4、列代数式的几个注意事项
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ”乘，或省略不写；
（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；
（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a；
（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式；
（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成3/a的形式；
（6）a与b的差写作a—b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a—b和b—a 。
初中数学实数知识点
平方根：
①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。
②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。
③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。
④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。
立方根：
①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的`立方根。
②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。
③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。
实数：
①实数分有理数和无理数。
②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。
初中提高数学成绩诀窍
数学不能只依靠上课听得懂
很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。这类问题都是学生在课堂上都以为自己听得懂就够了。
初中同学要首先对数学做一个认知，听得懂≠会做，会做≠拿的到分。听得懂只占你数学成绩的20%，仅仅听得懂只说明你理解能力还可以，不说明你能拿到很高的数学成绩。
只有听的懂理解了加上练，再加上多练，达到最后又快又准的做出来，这时候的数学成绩才会有长足的进步。
三个重要的数学思想
1、方程的思想。数学是研究事物的空间形式和数量关系的，初中数学最重要的就是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是方程。
2、数形结合的思想。任何一道题，只要与形沾边，就应该根据题意中的草图分析一番。这样做，不但直观，而且全面，整体性强。
3、对应的思想。
初中生数学成绩的提高，需要靠自己勤加练习和脚踏实地的去接受数学。
1.字母表示数
1）字母表示运算律
2）字母表示计算公式
字母可以表示任何数
2.代数式
1）概念：像4+3（x-1），x+x+(x+1),a+b,ab,2(+n),s/t 等式子都是代数式，单独一个数或一个字母也是代数式，如-5，a,b等.
2）书写要求：
①字母与字母相乘时，乘号通常简写作“ ”或省略不写；数字与字母相乘时，数字在前；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘仍用“×”
②除法一般写成分数形式
③ 如果代数式是积或商的形式，单位直接写在后面；如果是和或差的形式，必须先把代数式用括号括起来再写单位。
3.整式
1）单项式：表示数字和字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式
① 系数：单项式中的数字因数(包括其前面的符号)
② 次数：单项式中，所有字母的指数的和；单独的数字是0次单项式
注意：
（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系，凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如1/x不是单项式；
（2）单项式中不含加减运算；
（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数；
（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数
2）多项式：几个单项式的和；在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几项，就叫几项式；
次数： 多项式里，次数最高项的次数，是多项式的次数；
注意：
（1）确定多项式的项时，不要忽略它的符号；
（2）关于某个字母的n次项式，要求是合并同类项后的最简多项式
3) 整式：单项式和多项式统称为整式
4）同类项：
① 概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项；与它们的系数大小无关，与字母顺序无关；几个常数也是同类项.
②合并同类项法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变
4.整式的加减：
1）整式加减是求几个整式的和或差的运算，其实质是去括号，合并同类项
2）法则：几个整式相加减，用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项
3）化简求值：一是相加减化简，二是用具体数值代替整式中的字母，三是按式子的运算关系计算，计算其结果
5.探索与表达规律：图形中的规律、数字中的规律、算式中的规律
第三章 一元一次方程
一. 知识框架
二.知识概念
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).
一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… (检验方程的解).
列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”.
列方程解应用题的常用公式：
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;
第四章 图形的认识初步
知识框架
二.知识概念
立体图形与平面图形的联系：
立体图形的三视图是平面图形;立体图形的展开图是平面图形;面动成体.
直线、射线、线段的区别
(1)端点各数：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点;
(2)可度量性：直线和射线都不可度量，所以没有大小可言，线段有大小;
(3)延伸性：直线可以向两个方向延伸;射线可以向一个方向延伸;线段没有延伸性;
角的表示方法：三个大些字母——适用于任何角;
一个大些字母——适用独立角;
一个阿拉伯数字或希腊字母——适用非复合角;
余角和补角：和为90°的两个角互为余角;和为180°的两个角互为补角;
定理、公理：
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)等角(或同角)的余角相等，等角(或同角)的补角相等;
想学好数学，首先我们要知道什么是数学，它都包括哪些东西(初中数学内容)。我们宏观的去看初中数学，主要俩大模块：几何、代数。几何包括点、线、面、图形(三角形、四边形、椭圆、圆)：代数中有有理数、分式、整式、函数等。清楚它的大致包含的内容所对应的知识点，针对每个知识点如何的掌握，巧妙的去运用，达到我们所需要的结果是最终的目标。然而，在这一过程中最难做到的就是去运用。运用的巧妙、合理，我们就能很快的将题目解答出来。学会了，但不知道怎么去运用，往往要走很多弯路，这是大多数学生学不好数学，为学数学最苦恼的事情。针对这一情况，我在此为大家谈一下我学习数学的一些心得。
当拿到题目时，第一步要读题，大致的了解下属于哪方面的知识点，都有哪些已知条件，，第二步，审题，通过已知条件我们可以得到哪些隐藏的信息;例如告诉你在一个三角形中，三条边的边长分别为3，4，5，就可以判断次三角形为直角三角形;或者说其中的两个角互余，也可判断为直角三角形。甚至每一句话都有可以隐藏一个条件，将每一句话都审清楚申明白，不捡不漏。所有的条件都搞清楚后，第三步，我们要知道题目所求未知是什么，通过已知条件与未知条件建立关系，一般的未知值都是通过某些公理推理得到，而我们就是要用已知的条件去证实存在这样的公理推理，这就要求我们要熟练的掌握这些理论。
34、不封闭栽树问题：
(1)一条路的一边两端都栽树=路长÷间隔+1;
已知间隔数，树的棵树，求路长。路长=间隔数×(树的棵树-1)
(2)一条路的两边两端都栽树=(路长÷间隔+1)×2
(3)一条路的一边两端不栽树=路长÷间隔-1
(4)一条路的两边两端不栽树=(路长÷间隔-1)×2
(5)锯木头时间问题：锯一段木头时间=总时间÷(段数-1)
35、封闭图形四周栽树问题：栽树棵树=周长÷间隔
36、鸡兔同笼问题：(龟鹤问题、大船小船问题)
(1)算术假设法1：假设几只都是兔子，(都是脚多的兔子)，先求鸡的只数
鸡的只数：(总头数×4-总脚数)÷(4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数)
兔的只数：总头数-鸡的只数
算术假设法2：假设几只都是鸡，(都是脚少的鸡)，先求兔子的只数
兔子的只数：(总脚数-总头数×2)÷(4-2即一只兔的脚数减去一只鸡的脚数)
鸡的只数：总头数-兔子的只数
(2)方程法：设兔子有x只，则兔子脚有2x只。那么鸡有(总头数-x)只
根据“兔子脚+鸡脚=总脚数”列方程解答先求兔子只数，再算出鸡的只数。
即：4x+2×(总头数-x)=总脚数
补充内容：观察物体
36、从不同的角度观察物体，看到的形状可能是不同的;观察长方体或正方体时，从固定位置最多能看到三个面。(习惯上我们从左面、正面、上面看 ，把这三种视图统称三视图)
37、图形的运动：轴对称图形。
(1)沿一条直线对折后，两边完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。圆有无数条对称轴。正方形有4条对称轴。等边三角形有3条对称轴。长方形有2条对称轴。等腰三角形和等腰梯形有1条对称轴。
(2)轴对称图形的特点：沿对称轴对折，两边完全重合。‚每一组对应点到对称轴距离度相等。对应点之间的连线与对称轴互相垂直。
(3)要能根据对称轴画出对称图形的另一半。
38、数字编码：
(1)数不仅可以用来表示数量和顺序，还可以用来编码。
(2)邮政编码由6位数字组成，前2位表示省;前3位表示邮区，前4位表示县市，最后2位表示投递局(大地基乡投递局)
(3)身份证18位：第7至14位表示出生年月日 倒数第二位的数字表示性别，单数-男，双数-女
(4)根据卡号信息、运动员编号信息、门牌信息填写编码规律。
第一章有理数
正数与负数
①正数：大于0的数叫正数。(根据需要，有时在正数前面也加上“+”)
②负数：在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数。与正数具有相反意义。
③0既不是正数也不是负数。0是正数和负数的分界，是的中性数。
注意：搞清相反意义的量：南北;东西;上下;左右;上升下降;高低;增长减少等
有理数
1、有理数(1)整数:正整数、0、负整数统称整数;(2)分数;正分数和负分数统称分数;
2、数轴(1)定义：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴;
(2)数轴三要素：原点、正方向、单位长度;
(3)原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点;
(4)数轴上的点和有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上
3、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。(例：2的相反数是-2;0的相反数是0)
4、绝对值：(1)数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。从几何意义上讲，
(2)一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
两个负数，绝对值大的反而小。
有理数的加减法
①有理数加法法则：
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
3、一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律和结合律
②有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。
有理数的乘除法
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘;
任何数同0相乘，都得0;
乘积是1的两个数互为倒数。
乘法交换律/结合律/分配律
②有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数;
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除;
0除以任何一个不等于0的数，都得0。
有理数的乘方
1、求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做
指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
2、有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减;同级运算，从左到右进行;如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
3、把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意a的范围为1≤a<10。
4、从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。比如：精确到就是而不是
第二章整式的加减
整式
1、单项式：由数字和字母乘积组成的式子。系数，单项式的次数.单项式指的是数或字母的积的代数式.单独一个数或一个字母也是单项式.因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式.
2、单项式的系数：是指单项式中的数字因数;
3、单项数的次数：是指单项式中所有字母的指数的和.
4、多项式：几个单项式的和。判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式.每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数的次数。多项式的次数是指多项式里次数项的次数，这里ab是次数项，其次数是6;多项式的项是指在多项式中，每一个单项式.特别注意多项式的项包括它前面的性质符号.
5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。
6、单项式和多项式统称为整式。
整式的加减
1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。与字母前面的系数(≠0)无关。
2、同类项必须同时满足两个条件：(1)所含字母相同;(2)相同字母的次数相同，二者缺一不可.同类项与系数大小、字母的排列顺序无关
3、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项。可以运用交换律，结合律和分配律。
4、合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变;
5、去括号法则：去括号，看符号：是正号，不变号;是负号，全变号。
6、整式加减的一般步骤：
一去、二找、三合
(1)如果遇到括号按去括号法则先去括号.(2)结合同类项.(3)合并同类项
第三章一元一次方程
一元一次方程
1、方程是含有未知数的等式。
2、方程都只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程。注意：判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：
1)未知数所在的式子是整式(方程是整式方程);
2)化简后方程中只含有一个未知数;
3)经整理后方程中未知数的次数是
3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。
4、等式的性质：1)等式两边同时加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等;
2)等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变;运用性质2时，一定要注意0这个数.
、解一元一次方程
在实际解方程的过程中，以下步骤不一定完全用上，有些步骤还需重复使用.因此在解方程时还要注意以下几点：
①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项;分子是一个整体，去分母后应加上括号;去分母与分母化整是两个概念，不能混淆;
②去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号;不要漏乘括号的项;不要弄错符号;③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项要变符号)移项要变号;
④合并同类项：不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式;
⑤系数化为1：:字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。不要分子、分母搞颠倒。
实际问题与一元一次方程
一.概念梳理
⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关
数量关系;②设出未知数(注意单位);③根据相等关系列
出方程;④解这个方程;⑤检验并写出答案(包括单位名称)。
⑵一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练学案。
二、思想方法(本单元常用到的数学思想方法小结)
⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.
⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知
数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最
后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.
⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的
数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.
⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方
案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.
三、数学思想方法的学习
解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题.
寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等.
列方程()解应用题的检验包括两个方面：⑴检验求得的结果是不是方程的解;
⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.
分数乘法
(一)分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。(第一个因数是什么都可以)
(二)分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数)。
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。(分子乘分子，分母乘分母)
(1)如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
(2)分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(3)在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数)。
(4)分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
(三)积与因数的关系：
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。
一个数(0除外)乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b <1时，c
一个数(0除外)乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a 。
在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
(五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数：整数分之1。
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身，因为1×1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。
(六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。
2、巧找单位“1”的量：在含有分数(分率)的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。
3、什么是速度?
速度是单位时间内行驶的路程。
速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间
单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。
4、求甲比乙多(少)几分之几?
多：(甲-乙)÷乙 少：(乙-甲)÷乙
第一章 有理数
一. 知识框架
注意：0即不是正数，也不是负数;
-a不一定是负数，+a也不一定是正数;
p不是有理数;
数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.
相反数：
(1)只有符号不同的两个数，互为相反数，即a和- a互为相反数;
0的相反数还是0;
(2) a+b=0 ? a、b互为相反数.
绝对值：
(1)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;
正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;
绝对值的问题经常分类讨论，零既可以和正数一组也可以和负数一组;
有理数比大小：
两个负数比大小，绝对值大的反而小;
数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;
大数-小数 > 0，小数-大数 <
倒数：乘积为1的两个数互为倒数;
注意：0没有倒数;
有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;
(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)一个数与0相加，仍得这个数.
有理数加法的运算律：
(1)加法的交换律：a+b=b+a ;
(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).
10 有理数乘法法则：
(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;
(2)任何数同零相乘都得零;
(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定，负因数为奇数个时乘积为负，负因数为偶数个时乘积为正.
11 有理数乘法的运算律：
(1)乘法的交换律：ab=ba;
(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);
(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac .
有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;
乘方的定义：
(1)求相同因式积的运算，叫做乘方;
(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂;
有理数乘方的法则：
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n .
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，(其中1≤a<10)这种记数法叫科学记数法.
近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似
数的有效数字.
混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.
第三章 一元一次方程
一. 知识框架
二.知识概念
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0).
一元一次方程解法的一般步骤：整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… (检验方程的解).
列一元一次方程解应用题：
(1)读题分析法:………… 多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法: ………… 多用于“行程问题”.
列方程解应用题的常用公式：
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度;
第四章 图形的认识初步
知识框架
二.知识概念
立体图形与平面图形的联系：
立体图形的三视图是平面图形;立体图形的展开图是平面图形;面动成体.
直线、射线、线段的区别
(1)端点各数：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点;
(2)可度量性：直线和射线都不可度量，所以没有大小可言，线段有大小;
(3)延伸性：直线可以向两个方向延伸;射线可以向一个方向延伸;线段没有延伸性;
角的表示方法：三个大些字母——适用于任何角;
一个大些字母——适用独立角;
一个阿拉伯数字或希腊字母——适用非复合角;
余角和补角：和为90°的两个角互为余角;和为180°的两个角互为补角;
定理、公理：
(1)两点确定一条直线;
(2)两点之间线段最短;
(3)等角(或同角)的余角相等，等角(或同角)的补角相等;
1、实数的概念及分类
②无理数
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
开方开不尽的数，如 √7 ,3 √2等;
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π /?+8等;
有特定结构的数，如…等;
某些三角函数值，如sin60°等
2、实数的倒数、相反数和绝对值
①相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
②绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。|a|≥0。0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。
③倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。0没有倒数。
④数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
⑤估算
3、平方根、算数平方根和立方根
①算术平方根
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地，0的算术平方根是0。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。
②平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根)。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意 √a的双重非负性：√a≥0 ; a≥0
③立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a 的立方根(或三次方根)。
表示方法：记作 3 √a
性质：一个正数有一个正的立方根;一个负数有一个负的立方根;零的立方根是零。
注意：- 3 √a=3 √-a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
口算乘法
整十、整百数乘一位数的口算方法：先把整十数、整百数0前面的数与一位数相乘，算出积后，再看因数的末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
笔算乘法
多位数乘一位数(连续进位)的笔算方法：相同数位对齐；从个位乘起；用一位数依次去乘多位数的每一个数位上的数，哪一位上乘得的积满几十，就向前一位进几，与哪一位相乘，积就写在哪一位的下面;
与任何数相乘都等于0。
一个因数中有0的乘法的计算：相同数位对齐；从个位乘起；用一位数依次去乘多位数的每一个数位上的数在与中间的O相乘时，如果没有进位数，要在那一位上写0占位，如果有进位数，必须加上。
一个因数末尾有0的乘法的计算：先用一位数去乘另一个因数O前面的数，再看因数的末尾有几个0，就在积的末尾添上几个O。
1、线
⑴直线
直线没有端点;长度无限;过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
⑵射线
射线只有一个端点;长度无限。
⑶线段
线段有两个端点，它是直线的一部分;长度有限;两点的连线中，线段为最短。
两点之间线段的长度就是两点间的距离。
直线射线线段的联系：都是直的，射线和线段都是直线的一部分。
⑷同一平面内两条直线的位置关系有平行和相交两种。
⑸平行线
【定义】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。直线a平行于b，直线b也平行于a。
【性质】过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行。
两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。平行线间垂直线段处处相等。
【画法】一合，二靠，三移，四画。
⑹垂线
【定义】两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。
【性质】
过一点(直线上或直线外)只能画一条直线与已知直线垂直。
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离
【画法】一合，二过，三画，四标。
2、角
(1)角的定义从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
(2)角的度量角的计量单位是"度"，用符号"°"表示。把半圆分成180等份，每一份所对的角的大小是1度。记作"1°"。
(3)角的大小比较角的大小与角的两边画出的长短没有关系。角的大小要看两条边叉开的大小，叉开得越大，角越大。
(4)角的画法一画线，二量角，三连线，四标注。一副三角板可以画出的角的度数是15的倍数。
(5)角的分类
①锐角：小于90°的角叫做锐角。
②直角：等于90°的角叫做直角。
③钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
④平角：角的两边成一条直线，所组成的角叫做平角。平角180°。
一、本册的复习内容包括：
有余数除法、混合运算，方向与路线，万以内数的认识、万以内的加、减法、测量、认识图形、解决问题、统计。
二、下面就各部分内容的复习作一简要说明。
1、“有余数除法”的复习。
通过一学期的学习，学生对除法的意义和计算已经比较熟悉了。教材中安排了两道题，分别对除法的意义和计算进行总复习。目的是使学生清楚什么样的实际问题要用除法解决，同时，使学生能比较熟练地进行除法计算。
2、“混合运算”(乘加、乘减、除加、除减、加减混合以及两步有括号式题)的复习。
通过问题情境，使学生体会到在解决实际问题需要两步解答时，要遵循“先乘除，后加减”及“先算括号里面的”运算顺序。并能掌握这些运算顺序计算有关问题。
3、“方向和路线”的复习。
借助现实的数学活动，认识八个方向。给定一个方向(东、南、西、北)，能辨认其余七个方向，能用这些词语描述物体所在的位置;认识简单的路线图，能根据路线图说出出发地到目的地行走的方向和途径的地方。
4、“万以内数的认识”的复习。
万以内数认识的重点是数的读、写和数的组成。教材分别安排题目进行复习。另外，结合实际数据，使学生进一步明确准确数与近似数不同，知道近似数的作用，从而对数有更全面的认识。
5、“万以内的加、减法”的复习。
本学期所学的万以内的加、减法计算与100以内的加、减法有很多联系。因此，这部分内容复习的重点是培养学生综合运用知识的能力。对于每一个计算的问题，学生应能根据已学知识正确计算。学生可以选择自己喜欢的方法进行计算。另外，还要特别注意对学生估算意识的培养。
6、“测量”的复习。
通过动手操作和实际活动，初步建立“1千米”“1分米”“1毫米”的长度观念，以及单位之间的关系;培养学生的估测意识。
7、“认识图形”的复习。
通过生活实景，认识角。能辨认直角、锐角、钝角。通过动手操作，知道长方形、正方形的特征，直观认识平行四边形。复习的重点也是让学生结合自己的实际生活对图形进行描述，加深对这些知识的认识。从而培养学生有意识地用数学语言表达生活中现象的意识和习惯。
8、“解决问题”的复习。
培养学生用所学的数学知识解决简单的实际问题，是小学数学教学的主要目标之一。通过本学期的学习，学生已经能够根据情境中给出的资源(条件)，解决一些简单的问题。本单元的复习中，在原有知识的基础上，进一步提高学生的解决问题的能力。重点是使学生能够根据题目中的条件和问题，正确选择解决方法。对同一问题的解决方法不止一种，不要求学生都掌握，只要学生用一种自己喜欢的方法正确解答即可。
9、“统计”的复习。
统计知识复习的重点是培养学生对数据的分析能力。
三、复习的重、难点
复习的重点：放在数与数的运算这一块内容中的，万以内数的认识和加减法以及万以内的进位加法和退位减法两部分内容。
复习的难点是：万以内的进位加法和退位减法;混合运算;解决简单的实际问题。
位置的表示方法： A(列，行)如：A(3，4)表示A点在第三列第四行。
一般先看横的数字，再看竖的数字，注意中间是逗号
分数乘法的意义：一个数×分数
分数×一个数
乘积是1的两个数互为倒数 1的倒数是1 0没有倒数
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
两个数相除又叫做两个数的比。比值通常用分数表示，也可以用分数或整数
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变
圆的周长与它的直径的比值叫做圆周率，用兀来表示，兀≈
有关圆的公式：
C= 兀d = 2兀r S =兀r 2
d=C÷兀 d=2 r r = d÷2 r = C÷兀÷2
圆环的面积S = 兀 R 2-兀 r 2
原价×折扣=现价 营业额×税率=应纳税额 本金×利率×时间=利息
条形统计图：可以清楚的看出数据的多少
折线统计图：可以清楚的看出数据的增减变化趋势
扇形统计图：可以清楚的看出各部分同总数之间的关系
第一单元 【大数的认识】
1、亿以内数的认识：
10个一万是（ 十万 ），10个( 十万 )是一百万，10个一百万是( 一千万 )，10个（ 一千万 ）是一亿。
2、一（个）、十 、百、千、万……亿都是（ 计数单位 ）。
3、在用数字表示数的时候，这些计数单位要按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做( 数位 )。
4、位数：一个数含有几个数位，就是几位数，如652100是个( 6 )位数。
5、按照我国的计数习惯，从右边起，每四个数位是一级。6、亿以上数的读法：
① 先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
② 亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③ 每级末尾不管有几个0，都( 不读 )。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
7、亿以上数的写法：
① 从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
② 哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
8、比较数的大小：
①位数不同的两个数，位数多的数比较( 大 )。
②位数相同的两个数，从最高位开始比较。
9、求近似数：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数；省略亿位后面的尾数，要看千万位上的数。
这种求近似数的方法叫“四舍五入法”，是“舍”还是“入”，要看省略的尾数最高位上的数是小于5 还是等于或大于5 。小于5就舍去尾数，等于或大于5就向前一位进1，再舍去尾数。
10、表示物体个数：1、2 、3、4、5、6 、7 、8、9 、10……都是（ 自然数 ）。一个物体也没有，用0来表示， 0也是( 自然数 )。所有的自然数都是整数。
11、最小的自然数是0，没有最大的自然数，自然数的个数是( 无限 )的。
12、每相邻的两个计数单位之间的进率都是十，这种计数方法叫做（ 十进制计数法 ）。
13、ON╱CE：开关及清除屏键，清除显示屏上的内容。
AC: 清除键，清除所有内容。
从右边起，每（ 4 ）个数位是一级。
第五单元 【平行四边形和梯形】
1、在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线（互相平行 ）。
记作：a∥b 读作：a( 平行于 )b
2、两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。记作：a⊥b 读作：a（ 垂直于 ） b
3、从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。
4、与两条平行线互相垂直的线段长度都(相等 )。或者说：两条平行线之间的距离处处相等。
经过直线上一点（或外一点）作垂线，可以画一条。
5、同一平面内，与同一条直线平行（或垂直）的两条直线也互相平行。
6、从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
7、一个长方形，用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，可以拉成不同形状的平行四边形，但是周长不变。
8、平行四边形的特点：( 不稳定性/容易变形 )。例如：伸缩门、升降机
9、平行四边形和梯形有( 无数 )条高。
10、两腰相等的梯形叫做( 等腰 )梯形。 特点：两腰相等，两底角相等。
11、有一个角是直角的梯形叫做( 直角 )梯形。 特点：有一条腰就是梯形的高。
12、从梯形上底任取一个点，向下底引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做梯形的高。
13、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。
14、长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的平行四边形。正方形是特殊的长方形。
15、三角形三个内角的和是180°，四边形四个内角的和是（ 360 ）°。
16、四边形小结：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
只有一组对边平行的四边形叫梯形。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
四个角都是直角的四边形叫长方形。
四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。
平移与平行
知识点：
1、感受平移前后的位置关系———平行。(在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。)
2、平行线的画法。
(1)固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线。
(2)用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺。
(3)沿一条直角边在画出另一条直线。
3、能够借助实物，平面图形或立体图形，寻找出图中的平行线。
补充知识点 ：用数学符号表示两条直线的平行关系。如：AB∥CD。
一、填空：
两个数相除时，如果被除数扩大10倍，要使商不变，除数应()。
计算÷时，先将的小数点向()移动()位，使它()，再将的小数点向()移动()位，最后按除数是整数的除法进行计算。
两个不为0的数相除，除数()时，商就大于被除数;除数()时，商就小于被除数。
在计算÷时，应将其看作()÷()来计算，结果得()。
在实际应用中，小数除法的商也可以用()法保留一定的小数位数，求出商的()。
÷保留一位小数约等于();保留两位小数约等()。
…保留两位小数是()。
扩大()倍是1568，缩小()倍是。
小数部分的'位数是无限的小数叫做()。
……用简单便方法写出来是()，保留三位小数写作()。
时()分千米=()米560千克=()吨
李师傅小时做25个零件，平均每小时做()个零件，平均做每个零件需要()小时。
÷75的商用简便方法记作()，精确到百分位是()。
二、判断正误，正确的画○，错误的画△
(1)循环小数是无限小数?()
(2)÷的商是3，余数是1。()
(3)精确到百分位约是2。()
(4)无限小数一定比有限小数大。()
三、选择题。选择正确答案的序号填在括号里。
(1)商的算式是()
①54÷②÷36③÷
(2)比大、比小的小数有()个
①9②0③无数④1
(3)…是()小数
①有限②循环③不循环
(4)÷的商的位是()
①个位②十位③百位④十分位
一、课内重视听讲，课后及时复习
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比力本身的解题思路与教师所讲有哪些差别。然而由于各种原因，往往会有一部分学生不克不及跟上老师的思路，在学习中出现漏洞，这时候就需要在职老师对学生进行一对一的辅导，在辅导过程中老师会资助学生把一天所学的知识点回忆一遍，引导学生正确掌握各类公式的推理过程，从某种意义上讲，这样有利于学生养成不懂即问的学习作风。
别的，老师可以一对一资助学生在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入本身的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯
要想学好数学，多做标题问题是必需的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以资助开拓题型。
一年级数学学习方法：如何培养孩子的口算能力 如何培养孩子的口算能力口算也称心算，它是一种不借助计算工具，主要依靠思维、记忆，直接算出得数的计算方式。新大纲指出：口算既是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。由此可见，培养学生的计算能力，首先要从口算能力着手。那么怎样培养学生的口算能力呢?我的体会是教师念好“基(抓基本)、教(教方法)、练(常训练)”三字经是至关重要的。念好“基”字经“基”是指基本口算。小学数学教学中的口算分为基本口算、一般口算和特殊口算三类。这三类口算以基本口算的内容为主，它是计算的基础，基本口算必需要求熟练，而熟练的程度是指达到“脱口而出”，其它两类口算只要求比力熟练或学会。因此，要注意抓好如下几个方面：
直观表象助口算
从运算形式看，小学低年级的口算是从直观感知过渡到表象的运算。如教学建立9+2的表象：先出示装有9个皮球的盒子，别的再准备2个皮球，让学生想一想，“应该怎样摆才能一眼就看出一共有几个皮球?”很快有学生说：“我从盒子外面的2个皮球中拿1个皮球放进盒子里，盒子里就有10个皮球，外面还有一个，一共11个。”我表彰了这个同学说得好，并说明这种方法叫做“凑十法”，即看到9就想到9和几凑成10。这样，表象建立了，口算的准确性也就有基础了。
理清算理助口算
基本口算的教学，不在于单一的追求口算速度，而在于使学生理清算理，只有弄清了算理，才能有效地掌握口算的基本方法。因此，应重视抓好算理教学，例如教学8+5=13时，要从实际操作入手，让学生理解：8比10少2，求8与5之和，应把8+5分成2和38+58与2组成102310加3得13。10并画出口算8+5=13的思维过程图。在学生充分理解了算理的基础上，简缩思维过程，抽象出进位加法的法则：“看大数，分小数，凑成10，再加几。”最后，再引导学生想一想“5+8”怎样算。这样，学生理解了算理，亦就掌握了口算的基本方法。
说理训练助口算
抓好说理训练，能使学生有效地掌握基本口算，培养学生思维的灵活性。例如教学20以内的退位减法，上课一开始先出示“13-8=?”，问学生“13-8等于几呢?”“等于5。”又问：“是怎样想出来的?”“做减法，想加法。”再鼓励学生：“能不克不及想出别的的口算方法呢?”在学生说出几种口算方法后，归纳出差别的退位减法，并要求学生就差别的方法加强说理训练，以提高口算的速度念好“教”字经“教”就是教给学生口算方法和规律。
【微语】不要走两个极端：一个是随意画，失去了艺术应有的社会意义；一个是装腔作势、摆架子，感情不真诚。
