定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
第二类：与四边形的对角有关
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
第三类：与四边形的对角线有关
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法
(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
(1)平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等;(2)“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
一、平行四边形
1、平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等。(对边)
(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等(对角)
(3)平行四边形的对角线互相平分。(对角线)
(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(对边)
(2)定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(对边)
(3)定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。(对边)
(4)定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(对角)
(5)定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。(对角线)
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。 注意：平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah
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二、菱形
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
(1)菱形的四条边相等，对边平行。 (边)
(2)菱形的相邻的角互补，对角相等。(对角)
(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。(对角线)
(4)菱形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到菱形四条边的距离相等);对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
(2)定理1：四边都相等的四边形是菱形。(边)
(3)定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。(对角线)
(4)定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。(对角线)
4、菱形的面积： S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
三、矩形
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
(1)矩形的对边平行且相等。(对边)
(2)矩形的四个角都是直角。(内角)
(3)矩形的对角线相等且互相平分。(对角线)
(4)矩形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点(对称中心到矩形四个顶点的距离相等);对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。(角)
(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。(对角线)
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab
四、正方形
1、正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
(1)正方形四条边都相等，对边平行。(边)
(2)正方形的四个角都是直角 (角)
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角(对角线)
(4)正方形既是中心对称图形又是轴对称图形;对称中心是对角线的交点;对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
(1)定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
(2)定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
(3)定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。
(5)定理4：对角线相等的菱形是正方形。
(6)定理5：对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
(1)先证它是矩形，再证它是菱形。
(2)先证它是菱形，再证它是矩形。
一、成比例线段
1、定义：
(1)、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成
(2)、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),
那么(a+c+m)/(b+d++n)=a/b
二、平行线分线段成比例
1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。
三、相似多边形
定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件
1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明
六、利用相似三角形测高
1、利用阳光下的影子
2、利用标杆
3、利用镜子的反射
七、相似三角形的性质
1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
八、图形的位似
定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都 经过同一个点O，且有OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。
平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行且相等;
平行四边形的对角相等;
平行四边形的两条对角线互相平分;
平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点;
平行四边形的判定：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;
矩 形
矩形特有的性质：
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等;
(外垂直内相等)
矩形的判定：
有一个角是直角的平行四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形;
有三个角是直角的四边形是矩形;
菱 形
菱形特有的性质：
四条边都相等;
对角线互相垂直;
(外相等内垂直)
每条对角线平分一组对角;
菱形的判定：
一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
四边相等的四边形是菱形;
正 方 形
正方形特有的性质：
四条边都相等;
四个角都是90°;
对角线相等且互相垂直平分;
每条对角线平分一组对角。
正方形的判定：
四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形;
一组邻边相等的矩形是正方形;
对角线互相垂直的矩形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形;
对角线相等的菱形是正方形;
定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形
平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的邻角互补，对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
第二类：与四边形的对角有关
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
第三类：与四边形的对角线有关
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形
常见考法
(1)利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长;(2)求平行四边形某边的取值范围;(3)考查一些综合计算问题;(4)利用平行四边形性质证明角相等、线段相等和直线平行;(5)利用判定定理证明四边形是平行四边形。
误区提醒
(1)平行四边形的性质较多，易把对角线互相平分，错记成对角线相等;(2)“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”错记成“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”后者不是平行四边形的判定定理，它只是个等腰梯形。
一、特殊的平行四边形
矩形：
(1)定义：有一四边形。
(2)性质：矩形的四个角都是直角;矩形的对角线平分且相等。
(3)判定定理：
①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。②对角线相等的平行四边形是矩形。③有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形的性质：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半。
菱形：
(1)定义 ：邻边相等的平行四边形。
(2)性质：菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
(3)判定定理：
①一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
③四条边相等的四边形是菱形。
(4)面积：
正方形：
(1)定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
(2)性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分。 正方形既是矩形，又是菱形。
(3)正方形判定定理：
①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
②一组邻边相等，一个角为直角的平行四边形是正方形;
③对角线互相垂直的矩形是正方形;
④邻边相等的矩形是正方形
⑤有一个角是直角的菱形是正方形;
⑥对角线相等的菱形是正方形。
二、矩形、菱形、正方形与平行四边形、四边形之间的联系：
矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，其性质都是在平行四边形的基础上扩充来的。矩形是由平行四边形增加“一个角为90°”的条件得到的，它在角和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;菱形是由平行四边形增加“一组邻边相等”的条件得到的，它在边和对角线方面具有比平行四边形更多的特性;正方形是由平行四边形增加“一组邻边相等”和“一个角为90°”两个条件得到的，它在边、角和对角线方面都具有比平行四边形更多的特性。
矩形、菱形的判定可以根据出发点不同而分成两类：一类是以四边形为出发点进行判定，另一类是以平行四边形为出发点进行判定。而正方形除了上述两个出发点外，还可以从矩形和菱形出发进行判定。
三、判定一个四边形是特殊四边形的步骤：
常见考法
(1)利用菱形、矩形、正方形的性质进行边、角以及面积等计算;
(2)灵活运用判定定理证明一个四边形(或平行四边形)是菱形、矩形、正方形;
(3)一些折叠问题;
(4)矩形与直角三角形和等腰三角形有着密切联系、正方形与等腰直角三角形也有着密切联系。所以，以此为背景可以设置许多考题。
误区提醒
(1)平行四边形的所有性质矩形、菱形、正方形都具有，但矩形、菱形、正方形具有的性质平行四边形不一定具有，这点易出现混淆;
(2)矩形、菱形具有的性质正方形都具有，而正方形具有的性质，矩形不一定具有，菱形也不一定具有，这点也易出现混淆;
(3)不能正确的理解和运用判定定理进行证明，(如在证明菱形时，把四条边相等的四边形是菱形误解成两组邻边相等的四边形是菱形);(3)再利用对角线长度求菱形的面积时，忘记乘;(3)判定一个四边形是特殊的平行四边形的条件不充分。
【微语】还有谁比一个身体健康、没有债务和问心无愧的人更快乐？
