分析：设连续1999个正整数中最小的数是m，则m+（m+1）+…+（m+1998）=（2m+1998）×1999÷2=1999m+1999×999，根据这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n，使1999m+1999×999=n2，由上式左边能被1999整除，故n2也必能被1999整除，故n也必能被1999整除，1999m+1999×999=（m+999）×1999，设n=1999k，则m+999=1999，m=1000，从而得出最大值．解答：解：设连续1999个正整数中最小的数是m，则m+（m+1）+…+（m+1998）=（2m+1998）×1999÷2=1999m+1999×999如果这1999个正整数的和是一个完全平方数，则存在正整数n有1999m+1999×999=n2由于上式左边能被1999整除，故n2也必能被1999整除，所以m+999=1999所以m=1000，m+1998=2998．故答案为：2998．点评：本题考查了完全平方数的应用，是重点内容，要熟练掌握．