如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm
2024-10-20 05:24:16
如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t s，解答下列问题：
（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？
（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；
（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．
最佳答案
解：（1）作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB，DA⊥AB，
∴四边形AFVE是矩形，
∴AE=DE=5，CE=AD=4，
∴BE=3，
∴BC=，
∴BC＜AB，
∴P到C时，P、Q同时停止运动，
∴t=（秒），
即t=5秒时，P，Q两点同时停止运动．
（2）由题意知，AQ=BP=t，
∴QB=8﹣t，
作PF⊥QB于F，则△BPF～△BCE，
∴，即，
∴BF=，
∴S=QB•PF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当t=4时，S的最大值是；
（3）∵cos∠B=，
∴BF=t•cos∠B=，
∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8﹣，
∴QP===4
①当PQ=PB时，即QP═4，解得t=（舍去负值）
∵t=＞5，不合题意，
②当PQ=BQ时，即4=8﹣t，
解得：t1=0（舍去），t2=，
③当QB=BP，即8﹣t=t，
解得：t=4．
综上所述：当t=秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．
2024-10-20 05:24:16
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