已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB ，
已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB ，
延长DA，CB相交于点E．
（1）如图11，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图12，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°．
当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
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最佳答案
（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝90°.
∴∠ABE＝90°.
∵AC平分∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD.
∴AB＝AD.
∵EB＝AD，
∴EB＝AB.
∴△ABE是等腰直角三角形.
（2）直线EF与⊙O相离.
证明：过O作OG⊥EF，垂足为G.
在Rt△OEG中，
∵∠OEG＝30°，
∴OE＝2OG.
∵∠ADC＝90°,
∴AC是直径.
设∠ACE＝，AC＝2r.
由（1）得∠DCE＝2，
又∠ADC＝90°，
∴∠AEC＝90°－2.
∵≥30°，
∴（90°－2）－≤0.
∴∠AEC≤∠ACE.
∴AC≤AE.
在△AEO中，∠EAO＝90°＋，
∴∠EAO＞∠AOE.
∴EO＞AE.
∴EO－AE＞0.
由AC≤AE得AE－AC≥0.
∴EO－AC＝EO＋AE－AE－AC
＝（EO－AE）＋（AE－AC）＞0.
∴EO＞AC.
即2OG≥2r.
∴OG＞r.
∴直线EF与⊙O相离.