如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4
，∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=
的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
最佳答案
解：（1）解一元二次方程x2﹣12x+36=0，解得：x1=x2=6，
∴OA=OC=6，
∴A（﹣6，0），C（6，0）；
（2）如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵∠BAC=45°，
∴AE=BE，
设BE=x，
∵BC=4，
∴CE=，
∵AE+CE=OA+OC，
∴x+=12，
整理得：x2﹣12x+32=0，
解得：x1=4（不合题意舍去），x2=8
∴BE=8，OE=8﹣6=2，
∴B（2，8），
把B（2，8）代入y=，得k=16．
（3）存在．
如图2，若点P在OD上，若△PDB∽△AOP，
则，
即
解得：OP=2或OP=6
∴P（0，2）或P（0，6）；
如图3，若点P在OD上方，△PDB∽△AOP，
则，
即，
解得：OP=12，
∴P（0，12）；
如图4，若点P在OD上方，△BDP∽△AOP，
则，
即，
解得：OP=4+2或OP=4﹣2（不合题意舍去），
∴P（0，4+2）；
如图5，若点P在y轴负半轴，△PDB∽△AOP，
则，即，解得：OP=﹣4+2或﹣4﹣2，则P点坐标为（0，2﹣4）或（0，4+2）（不合题意舍去）．
∴点P的坐标为：（0，2）或（0，6）或（0，12）或（0，4+2）或（0，2﹣4）．