已知直线l：x=2+ty=1-at（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方
2024-08-28 13:58:27
已知直线l：
（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．
（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．
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（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．
最佳答案
（1）直线l：
x=2+t
y=1-at
代入椭圆方程，整理得（4a2+1）t2-4（2a-1）t-8=0设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=
4(2a-1)
4a2+1
，t1t2=
-8
4a2+1
，∵A，B的中点为P（2，1），∴t1+t2=0解之得a=
1
2
，∴t1t2=-4，∵|AP|=
12+(-
1
2
)2
|t1|=
5
2
|t1|，|BP|=
5
2
|t2|，∴|AB|=
5
2
（|t1|+|t1|）=
5
2
×
(t1+t2)2-4t1t2
=2
5
，（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=
1
2
|PB|，∴
1+a2
|t1|=2
1+a2
|t2|，?t1=-2t2，∴t1+t2=-t2=
4(2a-1)
4a2+1
，t1t2=-2t
22
=
-8
4a2+1
，∴t
22
=
4
4a2+1
，∴
16(2a-1)2
(4a2+1)2
=
4
4a2+1
，解得a=
4±
7
6
，∴直线l的直角坐标方程y-1=
4±
7
6
（x-2）．
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