正定矩阵一定可逆吗

正定矩阵一定可逆吗

正定矩阵可逆。因为正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于0，若矩阵A正定，则必有 |A|(矩阵A的行列式)>0，所以矩阵A可逆。

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)。

或者一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。

扩展资料：

正定矩阵有以下性质 ：

(1)正定矩阵的行列式恒为正;

(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;

(3)若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵;

(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;

(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。